Filter butterworth: filter butterworth low pass urutan pertama dan kedua

Filter listrik memiliki banyak aplikasi dan digunakan secara luas di banyak sirkuit pemrosesan sinyal. Ini digunakan untuk memilih atau menghilangkan sinyal dari frekuensi yang dipilih dalam spektrum lengkap dari input yang diberikan. Jadi filter digunakan untuk memungkinkan sinyal dari frekuensi yang dipilih melewatinya atau menghilangkan sinyal dari frekuensi yang dipilih yang melewatinya.

Saat ini, ada banyak jenis filter yang tersedia dan dibedakan dalam banyak hal. Dan kami telah membahas banyak filter di tutorial sebelumnya, tetapi diferensiasi paling populer didasarkan pada,

Analog atau digital
Aktif atau pasif
Audio atau frekuensi radio
Pemilihan frekuensi

Filter Analog atau Digital

Kita tahu sinyal yang dihasilkan oleh lingkungan bersifat analog sedangkan sinyal yang diproses di sirkuit digital bersifat digital. Kami harus menggunakan filter yang sesuai untuk sinyal analog dan digital untuk mendapatkan hasil yang diinginkan. Jadi kita harus menggunakan filter analog saat memproses sinyal analog dan menggunakan filter digital saat memproses sinyal digital.

Filter Aktif atau Pasif

Filter juga dibagi berdasarkan komponen yang digunakan saat mendesain filter. Jika desain filter sepenuhnya didasarkan pada komponen pasif (seperti resistor, kapasitor & induktor) maka filter disebut filter pasif. Di sisi lain, jika kita menggunakan komponen aktif (op-amp, sumber tegangan, sumber arus) saat mendesain rangkaian maka filter disebut filter aktif.

Lebih populer meskipun filter aktif lebih disukai daripada filter pasif karena memiliki banyak keuntungan. Beberapa keuntungan tersebut disebutkan di bawah ini:

Tidak ada masalah pembebanan: Kita tahu dalam rangkaian aktif kita menggunakan op-amp yang memiliki impedansi masukan yang sangat tinggi dan impedansi keluaran yang rendah. Dalam hal ini ketika kita menghubungkan filter aktif ke suatu rangkaian, maka arus yang ditarik oleh op-amp akan sangat diabaikan karena memiliki impedansi input yang sangat tinggi dan dengan demikian rangkaian tidak mengalami beban saat filter dihubungkan.
Mendapatkan fleksibilitas penyesuaian: Dalam filter pasif, penguatan atau penguatan sinyal tidak dimungkinkan karena tidak akan ada komponen khusus untuk melakukan tugas tersebut. Di sisi lain, dalam filter aktif, kami memiliki op-amp yang dapat memberikan penguatan tinggi atau penguatan sinyal ke sinyal input.
Fleksibilitas penyesuaian frekuensi: Filter aktif memiliki fleksibilitas yang lebih tinggi saat menyesuaikan frekuensi cutoff jika dibandingkan dengan filter pasif.

Filter berdasarkan Audio atau Frekuensi Radio

Komponen yang digunakan dalam desain filter berubah tergantung pada aplikasi filter atau tempat penyiapan digunakan. Misalnya, filter RC digunakan untuk audio atau aplikasi frekuensi rendah sedangkan filter LC digunakan untuk aplikasi radio atau frekuensi tinggi.

Filter berdasarkan Pemilihan Frekuensi

Filter juga dibagi berdasarkan sinyal yang melewati filter

Filter lolos rendah:

Semua sinyal di atas frekuensi yang dipilih dilemahkan. Ada dua jenis - Filter Akses Rendah Aktif dan Filter Akses Rendah Pasif. Respon frekuensi dari low pass filter ditunjukkan di bawah ini. Di sini, grafik titik-titik adalah grafik filter lolos rendah yang ideal dan grafik bersih adalah respons aktual dari rangkaian praktis. Ini terjadi karena jaringan linier tidak dapat menghasilkan sinyal terputus-putus. Seperti yang ditunjukkan pada gambar setelah sinyal mencapai frekuensi cutoff fH mereka mengalami pelemahan dan setelah frekuensi tertentu yang lebih tinggi, sinyal yang diberikan pada input diblokir sepenuhnya.

Pass filter tinggi:

Semua sinyal di atas frekuensi yang dipilih muncul di keluaran dan sinyal di bawah frekuensi tersebut akan diblokir. Mereka terdiri dari dua jenis- Filter Akses Tinggi Aktif dan Filter Akses Tinggi Pasif. Respon frekuensi dari high pass filter ditunjukkan di bawah ini. Di sini, grafik titik-titik adalah grafik filter high pass yang ideal dan grafik bersih adalah respons aktual dari rangkaian praktis. Ini terjadi karena jaringan linier tidak dapat menghasilkan sinyal terputus-putus. Seperti yang ditunjukkan pada gambar hingga sinyal memiliki frekuensi lebih tinggi dari frekuensi cutoff fL mereka mengalami atenuasi.

Filter bandpass:

Dalam filter ini, hanya sinyal dari rentang frekuensi yang dipilih yang diizinkan untuk muncul pada keluaran, sementara sinyal dari frekuensi lain diblokir. Respon frekuensi dari filter bandpass ditunjukkan di bawah ini. Di sini, grafik titik-titik adalah grafik filter bandpass yang ideal dan grafik bersih adalah respons aktual dari rangkaian praktis. Seperti yang ditunjukkan pada gambar sinyal pada range frekuensi dari fL sampai fH dibiarkan melewati filter sedangkan sinyal pada frekuensi lain mengalami redaman. Pelajari lebih lanjut tentang Band Pass Filter di sini.

Filter penolakan pita:

Fungsi filter penolakan pita adalah kebalikan dari filter bandpass. Semua sinyal frekuensi yang memiliki nilai frekuensi dalam rentang pita yang dipilih yang disediakan di input akan diblokir oleh filter sementara sinyal dari frekuensi lain diizinkan untuk muncul di output.

Semua lolos filter:

Sinyal dengan frekuensi apa pun diizinkan melewati filter ini kecuali jika mengalami pergeseran fasa.

Berdasarkan aplikasi dan biaya, perancang dapat memilih filter yang sesuai dari berbagai jenis.

Tetapi di sini Anda dapat melihat pada grafik keluaran hasil yang diinginkan dan sebenarnya tidak persis sama. Meskipun kesalahan ini diperbolehkan di banyak aplikasi, terkadang kita memerlukan filter yang lebih akurat yang grafik keluarannya cenderung lebih mengarah ke filter ideal. Respons yang mendekati ideal ini dapat dicapai dengan menggunakan teknik desain khusus, komponen presisi, dan op-amp berkecepatan tinggi.

Butterworth, Caur, dan Chebyshev adalah beberapa filter yang paling umum digunakan yang dapat memberikan kurva respons yang mendekati ideal. Di dalamnya, kita akan membahas filter Butterworth di sini karena ini adalah yang paling populer dari ketiganya.

Fitur utama filter Butterworth adalah:

Ini adalah filter berbasis RC (Resistor, Capacitor) & Op-amp (penguat operasional)
Ini adalah filter aktif sehingga penguatan dapat disesuaikan jika diperlukan
Karakteristik utama Butterworth adalah bahwa ia memiliki passband datar dan stopband datar. Inilah alasan mengapa ini biasanya disebut 'filter datar-datar'.

Sekarang mari kita bahas model rangkaian Filter Low Pass Butterworth untuk pemahaman yang lebih baik.

Filter First Order Low Pass Butterworth

Gambar tersebut menunjukkan model sirkuit dari filter worth order low-pass Butter orde pertama.

Di sirkuit kami memiliki:

Tegangan 'Vin' sebagai sinyal tegangan input yang bersifat analog.
Tegangan 'Vo' adalah tegangan keluaran dari penguat operasional.
Resistor 'RF' dan 'R1' adalah resistor umpan balik negatif dari penguat operasional.
Ada satu jaringan RC (ditandai dengan kotak merah) yang ada di sirkuit maka filternya adalah filter low pass orde-1
'RL' adalah tahanan beban yang dihubungkan pada keluaran op-amp.

Jika kita menggunakan aturan pembagi tegangan pada titik 'V1' maka kita bisa mendapatkan tegangan di kapasitor sebagai, V ₁ = V _di Sini –jXc = 1 / 2ᴫfc

Setelah substitusi persamaan ini kita akan mendapatkan sesuatu seperti di bawah ini

V ₁ = Vi _n / (1 + j2ᴫfRC)

Sekarang op-amp di sini digunakan dalam konfigurasi umpan balik negatif dan untuk kasus seperti itu persamaan tegangan keluaran diberikan sebagai, V ₀ = (1 + R _F / R ₁) V _1.

Ini adalah rumus standar dan Anda dapat melihat rangkaian op-amp untuk lebih jelasnya.

Jika kita memasukkan persamaan V1 ke dalam Vo kita akan mendapatkan, V0 = (1 + R _F / R ₁)

Setelah menulis ulang persamaan ini, kita dapat memiliki, V ₀ / V _dalam = A _F / (1 + j (f / f _L))

Dalam persamaan ini,

V ₀ / V _in = penguatan filter sebagai fungsi frekuensi
AF = (1 + R _F / R ₁) = penguatan passband filter
f = frekuensi sinyal input
f _L = 1 / 2ᴫRC = frekuensi cutoff filter. Kita dapat menggunakan persamaan ini untuk memilih nilai resistor dan kapasitor yang sesuai untuk memilih frekuensi cutoff rangkaian.

Jika kita mengubah persamaan di atas menjadi bentuk kutub yang akan kita dapatkan,

Kita dapat menggunakan persamaan ini untuk mengamati perubahan besaran penguatan dengan perubahan frekuensi sinyal input.

Kasus1: f < L . Jadi mari kita anggap frekuensi input sangat kurang dari frekuensi cutoff filter,

Jadi bila frekuensi input sangat kurang dari frekuensi cutoff filter maka besaran gain kira-kira sama dengan gain loop op-amp.

Case2: f = f _L. Jika frekuensi input sama dengan frekuensi cutoff filter maka,

Jadi ketika frekuensi input sama dengan frekuensi cutoff filter maka besarnya gain adalah 0,707 kali gain loop op-amp.

Case3: f> f _L. Jika frekuensi input lebih tinggi dari frekuensi cutoff filter maka,

Seperti yang dapat Anda lihat dari polanya, gain filter akan sama dengan gain op-amp hingga frekuensi sinyal input lebih kecil dari frekuensi cutoff. Tetapi begitu frekuensi sinyal input mencapai frekuensi cutoff, penguatannya sedikit menurun seperti yang terlihat pada kasus dua. Dan ketika frekuensi sinyal input meningkat lebih jauh, penguatan secara bertahap berkurang hingga mencapai nol. Jadi filter Butterworth lolos rendah memungkinkan sinyal input muncul di output sampai frekuensi sinyal input lebih rendah dari frekuensi cutoff.

Jika kita telah menggambar grafik respon frekuensi untuk rangkaian di atas kita akan memiliki,

Seperti yang terlihat pada grafik, penguatan akan linier sampai frekuensi sinyal input melewati nilai frekuensi cutoff dan begitu itu terjadi, penguatan akan sangat berkurang begitu juga dengan nilai tegangan keluaran.

Filter Low Pass Butterworth Orde-2 Kedua

Gambar tersebut menunjukkan model rangkaian low pass filter Butterworth orde-2 ke-2.

Di sirkuit kami memiliki:

Tegangan 'Vin' sebagai sinyal tegangan input yang bersifat analog.
Tegangan 'Vo' adalah tegangan keluaran dari penguat operasional.
Resistor 'RF' dan 'R1' adalah resistor umpan balik negatif dari penguat operasional.
Ada jaringan RC ganda (ditandai dengan kotak merah) yang ada di sirkuit sehingga filternya adalah filter low pass orde-2 kedua.
'RL' adalah tahanan beban yang dihubungkan pada keluaran op-amp.

Derivasi Filter Butterworth Low Pass Orde Kedua

Filter orde kedua penting karena filter orde tinggi dirancang menggunakannya. Keuntungan dari filter orde kedua diatur oleh R1 dan RF, sedangkan frekuensi cutoff f _H ditentukan oleh R ₂, R ₃, C ₂ & C ₃ nilai. Penurunan frekuensi cutoff diberikan sebagai berikut, f _H = 1 / 2ᴫ (R ₂ R ₃ C ₂ C ₃) ^1/2

Persamaan penguatan tegangan untuk rangkaian ini juga dapat ditemukan dengan cara yang sama seperti sebelumnya dan persamaan ini diberikan di bawah ini,

Dalam persamaan ini,

V ₀ / V _in = penguatan filter sebagai fungsi frekuensi
A _F = (1 + R _F / R ₁) penguatan pita sandi dari filter
f = frekuensi sinyal input
f _H = 1 / 2ᴫ (R ₂ R ₃ C ₂ C ₃) ^1/2 = frekuensi cutoff filter. Kita dapat menggunakan persamaan ini untuk memilih nilai resistor dan kapasitor yang sesuai untuk memilih frekuensi cutoff rangkaian. Juga jika kita memilih resistor dan kapasitor yang sama di jaringan RC maka persamaannya menjadi,

Kita dapat persamaan gain tegangan untuk mengamati perubahan besaran gain dengan perubahan yang sesuai dalam frekuensi sinyal input.

Kasus1: f < H. . Jadi mari kita anggap frekuensi input sangat kurang dari frekuensi cutoff filter,

Jadi bila frekuensi input sangat kurang dari frekuensi cutoff filter maka besaran gain kira-kira sama dengan gain loop op-amp.

Case2: f = f _H. Jika frekuensi input sama dengan frekuensi cutoff filter maka,

Jadi ketika frekuensi input sama dengan frekuensi cutoff filter maka besarnya gain adalah 0,707 kali gain loop op-amp.

Case3: f> f _H. Jika frekuensi input benar-benar lebih tinggi daripada frekuensi cutoff filter,

Mirip dengan filter orde pertama, penguatan filter akan sama dengan penguatan op-amp sampai frekuensi sinyal input kurang dari frekuensi cutoff. Tetapi begitu frekuensi sinyal input mencapai frekuensi cutoff, penguatannya sedikit menurun seperti yang terlihat pada kasus dua. Dan ketika frekuensi sinyal input meningkat lebih jauh, penguatan secara bertahap berkurang hingga mencapai nol. Jadi filter Butterworth lolos rendah memungkinkan sinyal input muncul di output sampai frekuensi sinyal input lebih rendah dari frekuensi cutoff.

Jika kita menggambar grafik respon frekuensi untuk rangkaian di atas kita akan mendapatkan,

Sekarang Anda mungkin bertanya-tanya di manakah perbedaan antara filter urutan pertama dan filter urutan kedua ? Jawabannya ada pada grafik, jika diamati dengan seksama, Anda dapat melihat setelah frekuensi sinyal input melewati frekuensi cutoff grafik mengalami penurunan tajam dan penurunan ini lebih terlihat pada orde kedua dibandingkan orde pertama. Dengan kemiringan yang curam ini, filter Butterworth orde dua akan lebih condong ke grafik filter ideal jika dibandingkan dengan filter Butterworth orde-tunggal.

Ini sama untuk Filter Low Pass Butterworth Order Ketiga, Filter Low Pass Butterworth Order Keempat dan seterusnya. Semakin tinggi urutan filter semakin grafik keuntungan condong ke grafik filter yang ideal. Jika kita menggambar grafik keuntungan untuk filter Butterworth tingkat tinggi kita akan mendapatkan sesuatu seperti ini,

Dalam grafik, kurva hijau mewakili kurva filter ideal dan Anda dapat melihat urutan filter Butterworth meningkatkan grafik keuntungannya lebih condong ke arah kurva ideal. Jadi lebih tinggi urutan filter Butterworth memilih lebih ideal kurva gain akan. Dengan demikian, Anda tidak dapat memilih filter tingkat tinggi dengan mudah karena keakuratan filter menurun dengan bertambahnya urutan. Oleh karena itu, yang terbaik adalah memilih urutan filter sambil tetap memperhatikan keakuratan yang diperlukan.

Derivasi Filter Butterworth Low Pass Orde-2 Kedua -Aliter

Setelah artikel tersebut diterbitkan, kami menerima surat dari Keith Vogel, yang merupakan pensiunan insinyur listrik. Dia telah melihat kesalahan dipublikasikan secara luas dalam deskripsi dari 2 ^nd rangka low pass filter dan menawarkan penjelasan untuk memperbaikinya yaitu sebagai berikut.

Jadi biarkan aku melakukannya dengan benar.:

Dan kemudian katakanlah frekuensi cutoff -6db dijelaskan oleh persamaan:

f _c = 1 / (

)

Namun, ini tidak benar! Mari membuatmu percaya padaku. Mari kita buat sirkuit di mana R1 = R2 = 160, dan C1 = C2 = 100nF (0.1uF). Mengingat persamaan, kita harus memiliki frekuensi -6db:

f _c = 1 / (

) = 1 / (2

* 160 * 100 * 10 ^-9) ~ 9.947kHz

Mari lanjutkan dan simulasikan rangkaian dan lihat di mana titik -6db adalah:

Oh, itu mensimulasikan ke 6.33kHz BUKAN 9.947kHz; tapi simulasi TIDAK SALAH!

Untuk informasi Anda, saya telah menggunakan -6.0206db daripada -6db karena 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 adalah angka yang sedikit lebih dekat dari -6, dan untuk mendapatkan frekuensi simulasi yang lebih akurat untuk persamaan kami, saya ingin menggunakan sesuatu yang sedikit lebih dekat dari hanya -6db. Jika saya benar-benar ingin mencapai frekuensi yang digariskan oleh persamaan, saya perlu penyangga antara 1 ^st dan 2 ^nd tahap filter. Sirkuit yang lebih akurat untuk persamaan kita adalah:

Dan di sini kita melihat titik -6.0206db kita disimulasikan ke 9.945kHz, lebih dekat dengan 9.947kHZ yang dihitung. Semoga Anda percaya bahwa ada kesalahan! Sekarang mari kita bicara tentang bagaimana kesalahan itu terjadi, dan mengapa ini hanyalah rekayasa yang buruk.

Kebanyakan deskripsi akan mulai dengan 1 ^st rangka low pass filter, dengan impedansi sebagai berikut.

Dan Anda mendapatkan fungsi transfer sederhana:

H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)

Kemudian mereka mengatakan jika Anda hanya menempatkan 2 dari bersama-sama ini untuk membuat 2 ^nd urutan filter, Anda mendapatkan:

H (s) = H ₁ (s) * H ₂ (s).

Dimana H ₁ (s) = H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1)

Yang bila dihitung akan menghasilkan persamaan fc = 1 / (2π√R1C1R2C2). Ini adalah kesalahannya, respons H ₁ (s) TIDAK independen dari H ₂ (s) di sirkuit, Anda tidak dapat mengatakan H ₁ (s) = H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1).

Impedansi H ₂ (s) mempengaruhi respon H ₁ (s). Dan dengan demikian mengapa rangkaian ini berfungsi, karena opamp mengisolasi H ₂ (s) dari H ₁ (s)!

Jadi sekarang saya akan menganalisis rangkaian berikut. Pertimbangkan sirkuit asli kami:

Untuk kesederhanaan, saya akan membuat R1 = R2 dan C1 = C2, jika tidak, matematika akan benar-benar terlibat. Tapi kita harus bisa mendapatkan fungsi transfer yang sebenarnya dan membandingkannya dengan simulasi kita untuk validasi saat kita selesai.

Jika kita mengatakan, Z ₁ = 1 / sC sejajar dengan (R + 1 / sC), kita dapat menggambar ulang rangkaian sebagai:

Kita tahu bahwa V ₁ / V _di = Z ₁ / (R + Z ₁); Dimana Z ₁ bisa menjadi impedansi kompleks. Dan jika kita kembali ke rangkaian awal kita, kita dapat melihat Z ₁ = 1 / sC sejajar dengan (R + 1 / sC)

Kita juga dapat melihat bahwa Vo / V ₁ = 1 / (sRC + 1), yaitu H ₂ (s). Tetapi H ₁ (s) Jauh lebih kompleks, yaitu Z ₁ / (R + Z ₁) di mana Z ₁ = 1 / sC - (R + 1 / sC); dan BUKAN 1 / (sRC + 1)!

Jadi sekarang mari kita mengerjakan matematika untuk sirkuit kita; untuk kasus khusus R1 = R2 dan C1 = C2.

Kita punya:

V ₁ / V _dalam = Z ₁ / (R + Z ₁) Z ₁ = 1 / sC - (R + 1 / sC) = (sRC + 1) / ((sC) ² R + 2sC) Vo / V ₁ = 1 / (sRC + 1)

Dan akhirnya

Vo / V _in = * = * = * = * = *

Di sini kita dapat melihat bahwa:

H ₁ (s) = (sRC + 1) / ((sCR) ² + 3sRC + 1)…

bukan 1 / (sRC + 1) H ₂ (s) = 1 / (sRC + 1)

Dan..

Vo / V _in = H ₁ (s) * H ₂ (s) = * = 1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1)

Kita tahu bahwa titik -6db adalah (

/ 2) ² = 0,5

Dan kita tahu ketika besarnya fungsi transfer kita pada 0,5, kita berada pada frekuensi -6db.

Jadi mari kita pecahkan untuk itu:

-Vo / V _dalam - = -1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1) - = 0,5

Misalkan s = jꙍ, kita punya:

-1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1) - = 0,5 -1 / ((jꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 0,5 - ((jꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (ꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) ²) + 3jꙍRC- = 2

Untuk mencari besarannya, ambil akar kuadrat dari kuadrat suku riil dan imajiner.

akar persegi (((1- (ꙍRC) ²) ² + (3ꙍRC) ²) = 2

mengkuadratkan kedua sisi:

((1- (ꙍRC) ²) ² + (3ꙍRC) ² = 4

Memperluas:

1 - 2 (ꙍRC) ² + (ꙍRC) ⁴ + 9 (ꙍRC) ² = 4

1 + 7 (ꙍRC) ² + (ꙍRC) ⁴ = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² + 1 = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² - 3 = 0

Misalkan x = (ꙍRC) ²

(x) ² + 7x - 3 = 0

Menggunakan persamaan kuadrat untuk mencari nilai x